בגרות 2013 מועד חורףהנדסה אנליטית 572 · שיעור 47
הנדסה אנליטית · 5 יחידות · שאלון 572
שיעור 47: בגרות 2013 מועד חורף
פרק 4: תרגול בגרויות 481-4 יחידות
1🔵 סעיף א(1): מציאת שיעורי המרכז M בעזרת משיק מאונך לרדיוס
2🟢 סעיף א(2): משוואת המעגל – מציאת R² מהנקודה A
3🟣 סעיף ב(1): הוכחה שהישר BM מקביל למשיק בנקודה A
4🔷 סעיף ב(2): שטח המשולש BMA
📄 נוסח השאלה
נתון מעגל שמרכזו M נמצא על הישר y=7. הישר y=12x משיק למעגל בנקודה A(6,3) (ראה ציור).
המעגל חותך את ציר ה־y בנקודות B ו־C. נקודה C נמצאת מעל נקודה B.
המעגל חותך את ציר ה־y בנקודות B ו־C. נקודה C נמצאת מעל נקודה B.
א(1). מצא את השיעורים של המרכז M.
א(2). מצא את משוואת המעגל.
ב(1). הראה כי הישר BM מקביל לישר המשיק למעגל בנקודה A.
ב(2). מצא את שטח המשולש BMA.
🔵 סעיף א(1): מציאת שיעורי המרכז M בעזרת משיק מאונך לרדיוס
מצא את השיעורים של המרכז M.
y=7 ישר מקביל לציר x, לכן ה־y של M הוא 7: M(x,7)
הדרך: נמצא את משוואת AM ונציב בה y=7.
שיפוע המשיק 12. בין משיק לרדיוס יש 90° ← הופכי ונגדי:
mMA=−2
A(6,3)=(x₁,y₁)
y−y₁=m(x−x₁)
y−3=−2(x−6)
y−3=−2x+12
y=−2x+15
מציבים y=7:
7=−2x+15
🔵 סעיף א(1): מציאת שיעורי המרכז M בעזרת משיק מאונך לרדיוס · המשך
7=−2x+15
−8=−2x
x=4
✅ M(4,7)
🟢 סעיף א(2): משוואת המעגל – מציאת R² מהנקודה A
מצא את משוואת המעגל.
מציבים את המרכז (a,b)=(4,7) ואת הנקודה A(6,3) במשוואת המעגל:
(6−4)²+(3−7)²=R²
4+16=R²
R²=20
✅ (x−4)²+(y−7)²=20
🟣 סעיף ב(1): הוכחה שהישר BM מקביל למשיק בנקודה A
הראה כי הישר BM מקביל לישר המשיק למעגל בנקודה A.
ישרים מקבילים ← שיפועים שווים. צריך להראות ש־mBM=12.
B על ציר y ← מציבים x=0 במשוואת המעגל:
(0−4)²+(y−7)²=20
16+(y−7)²=20
(y−7)²=4
y−7=2 ← y=9
y−7=−2 ← y=5
C מעל B, לכן B(0,5) , C(0,9).
mBM=7−54−0=24=12
השיפוע שווה לשיפוע המשיק, ולכן הישרים מקבילים.
🟣 סעיף ב(1): הוכחה שהישר BM מקביל למשיק בנקודה A · המשך
השיפוע שווה לשיפוע המשיק, ולכן הישרים מקבילים.
✅ mBM=12 = שיפוע המשיק ← BM מקביל למשיק
🔷 סעיף ב(2): שטח המשולש BMA
מצא את שטח המשולש BMA.
BM ו־MA רדיוסים. בין הרדיוס MA למשיק יש 90°, ו־BM מקביל למשיק – לכן גם ∢BMA=90° (זוויות מתחלפות).
משולש ישר זווית: ניצב כפול ניצב חלקי 2.
S=BM·MA2=R²2
S=202=10
✅ S=10
📌 לזכור
💡 משיק ⊥ רדיוס ← שיפוע הרדיוס הופכי ונגדי לשיפוע המשיק. ישרים מקבילים ← שיפועים שווים. חיתוך עם ציר y ← x=0, ושורש נותן שתי נקודות.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא